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\title{RL串联电路作业题}
\author{常微分方程课程}
\date{2025年}

\begin{document}

\maketitle

\section{问题叙述}
在电子工程和物理中，RL串联电路是一种基本的电路模型，由一个电阻器（R）和一个电感器（L）串联组成，通常还连接一个直流电源（E）。当电路开关闭合时，电流不会立即达到稳定值，而是随着时间逐渐增加。这种现象在电力系统、电子设备和控制系统中非常重要。

考虑一个RL串联电路，电源电压为$E$（伏特），电阻为$R$（欧姆），电感为$L$（亨利）。开关在$t=0$时刻闭合，初始时刻电流为$I(0)=0$。请分析电路中电流随时间的变化规律。

\section{建立数学模型}
根据基尔霍夫电压定律（KVL），在一个闭合回路中，各元件上的电压降之和等于电源电压。对于RL串联电路：

\begin{enumerate}
\item 电阻上的电压降：$V_R = RI$
\item 电感上的电压降：$V_L = L\frac{dI}{dt}$
\item 电源电压：$E$
\end{enumerate}

建立电路的数学模型，即电流$I(t)$满足的微分方程：

$$L\frac{dI}{dt} + RI = E$$

这是一个一阶线性常微分方程。请给出该方程的通解，并利用初始条件$I(0)=0$求出特解。

\section{参数估计}
假设在实际实验中，测得以下数据：
\begin{itemize}
\item 电源电压 $E = 12$ 伏特
\item 电路在 $t = 0.5$ 秒时，电流达到稳态值的63.2\%
\item 稳态电流值为 $I_{\infty} = 3$ 安培
\end{itemize}

请估算电路中的电阻$R$和电感$L$的值，并解释63.2\%这个数值的物理意义。

\section{理论求解}
对于上述微分方程：
$$L\frac{dI}{dt} + RI = E$$

\begin{enumerate}
\item 求出该方程的通解
\item 利用初始条件 $I(0) = 0$ 确定积分常数
\item 得出电流随时间变化的解析表达式 $I(t)$
\item 分析电流的稳态值和时间常数 $\tau = \frac{L}{R}$
\end{enumerate}

\section{编程计算}
使用Python或其他编程语言，完成以下任务：

\begin{enumerate}
\item 根据参数估计部分得到的$R$和$L$值，编写程序计算并绘制电流随时间的变化曲线
\item 计算并输出 $t = 0, \tau, 2\tau, 3\tau, 4\tau, 5\tau$ 时刻的电流值
\item 验证电流在 $t = \tau$ 时刻是否确实达到稳态值的63.2\%
\end{enumerate}

参考代码框架：
\begin{verbatim}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数定义
E = 12.0  # 电源电压 (V)
R = ?     # 电阻 (Ω)
L = ?     # 电感 (H)
tau = L/R # 时间常数 (s)

# 电流函数
def current(t):
    return (E/R) * (1 - np.exp(-t/tau))

# 绘图
t = np.linspace(0, 5*tau, 1000)
I = current(t)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, I, 'b-', linewidth=2, label='电流随时间变化')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('电流 (A)')
plt.title('RL串联电路电流随时间变化')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
\end{verbatim}

\section{模拟仿真}
\begin{enumerate}
\item 在电路仿真软件（如Multisim、LTspice等）中搭建RL串联电路
\item 设置与理论计算相同的参数
\item 仿真电流从零增长到稳态值的过程
\item 将仿真结果与理论计算和编程结果进行比较分析
\end{enumerate}

\section{拓展问题}
\begin{enumerate}
\item 如果电源电压改为正弦交流信号 $E(t) = E_0\sin(\omega t)$，请建立相应的微分方程并求解
\item 讨论不同时间常数 $\tau = \frac{L}{R}$ 对电流响应速度的影响
\item 分析RL电路在滤波、延时等应用中的工作原理
\end{enumerate}

\section{实验报告要求}
请提交包含以下内容的实验报告：
\begin{enumerate}
\item 完整的数学模型推导过程
\item 参数估计和理论求解的详细步骤
\item 编程代码和计算结果
\item 仿真结果对比分析
\item 拓展问题的思考和解答
\item 对RL电路在实际应用中的理解
\end{enumerate}

\section{电路图}
以下是RL串联电路的示意图：

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3, circuit ee IEC, thick]

    \draw (0,2) to [battery={info'=$E$,name=E}] (0,0);
    \draw (0,0) to [make contact={info'=$S$,name=K}] (3,0);
    \draw (3,0) to [inductor={info'=$L$,name=L}] (3,2);
    \draw (3,2) to [resistor={info'=$R$,name=R}] (0,2);
    
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}